
1. Vektor posisi suatu benda diberikan r=(t3−2t2)i+(3t2)j dimana t dalam sekon dan r dalam meter. Tentukan besar dan arah pepindahan benda dari t = 2 s sampai ke t = 3 s.
Jawaban dari Pak Dimpun:
Δr=r2−r1Δr=[(33−2.32)i+(3.32)j]−[(23−2.22)i+(3.22)j]Δr=9i+15j
Besar Perpindahan:
|Δr|=√92+152=√206Arah Perpindahan:
tanθ=yx=159θ=arctan159
2. Posisi suatu titik materi yang bergerak lurus vertikal dinyatakan dinyatakan dengan persamaan y = 20t – 5t^{2} , dengan y dalam m dan t dalam sekon.
Tentukan :
a) kecepatan awal materi
b) kecepatan titik materi pada t = 1,5
s) tinggi maksimum titik materi jika y menyatakan ketinggian titik materi dari tanah.
Jawaban dari Pak Dimpun:
\begin{align*}v&=\frac{dy}{dt} \\ v&=\frac{d(20t-5t^{2})}{dt} \\ v&=20-10t\end{align*}
a) Kecepatan awal, t=0:
\begin{align*}v&=20-10t \\ v&=20-10(0) \\ v&=20ms^{-1}\end{align*}
b) kecepatan titik materi pada t = 1,5 s :
\begin{align*}v&=20-10t \\ v&=20-10(1,5)=5ms^{-1}\end{align*}
c) tinggi maksimum, saat v=0.
\begin{align*}v&=20-10t=0 \\ t&=2s\\\\ y &= 20t-5t^{2} \\ y&=20(2)-5.2^{2}\\&=20m\end{align*}
3. Misalkan seorang astronaut yang berdiri pada planet Mars melemparkan sebuah bola vertikal ke atas. Bola meninggalkan tangannya pada t = 0, dengan kelajuan awal 20 m/s. Akibat gravitasi, bola diperlambat secara gradual. Secara pendekatan kecepatan bola sebagai fungsi waktu diberikan oleh v=20-4t , dengan t dalam sekon dan v dalam meter per sekon.
a) Kapankah bola mencapai ketinggian maksimumnya dari tanah?
b) Berapa ketinggian maksimum bola tersebut?
Jawaban dari Pak Dimpun:
a) mencapai ketinggian maksimumnya dari tanah saat v=0;
v = 20-4t=0 \\ t=5s
b)ketinggian maksimum:
\begin{align*}h&=\int vdt \\ h&=\int (20-4t)dt \\ h&=20t-2t^{2} \\ t&=5s$\\\\ h&=20(5)-2(5)^{2}\\h&=50m\end{align*}
4. Sebuah partikel bergeak pada garis lurus dengan kecepatan pada saat t dinyatakan oleh v = 3t^{2}-6t-9, t dalam secon dan v dalam m/s. Tentukan perpindahan dalam jarak yang ditempuh partikel di antara t = 1s dan t = 4s.
Jawaban dari Pak Dimpun:
\begin{align*}x&=\int vdt \\ x&=\int (3t^{2}-6t-9)dt \\ x&=t^{3}-3t^{2}-9t\end{align*}
5. Sebuah pesawat mainan bergerak pada suatu lapangan yang terletak pada bidang XY. Posisi awal pesawat adalah pada koordinat (3,0) m. Komponen-komponen kecepatan pesawat dapat dinyatakan oleh fungsi: \small V_{x}= (4,0 ms^{-2})t \textrm{ dan } V_{y}=(10,0 ms^{-1})+(0,75 ms^{-3})t^{2}
a).Nyatakan persamaan umum posisi pesawat
b).Tentukan posisi pesawat pada t = 2,0 s.
Jawaban dari Pak Dimpun:
\begin{align*}x&=\int v_{x}dt+x_{o} \\ x&=\int (4t)dt+3=2t^{2}+3 \\\\ y&=\int v_{y}dt+y_{o} \\ y&=\int (10+0,75t^{2})dt+0 \\ y&=10t+0,25t^{3}\end{align*}
a).Persamaan umum posisi pesawat:
\begin{align*}r&=xi+yj \\ r&=(2t^{2}+3)i+(10t+0,25t^{3})j\end{align*}
b).posisi pesawat pada t = 2,0s;
\begin{align*}r&=(2.2^{2}+3)i+(10.2+0,25.2^{3})j \\ r&=11i+22j\end{align*}
6. Komponen-komponen kecepatan pada saat t telah kita peroleh, yaitu v_{x}=4,0t dan v_{y} = 10,0 + 0,75t^{2}, dengan t dalam sekon dan v_{x}, v_{y} dalam meter per sekon. Tentukan vektor percepatan rata-rata antara t = 0 dan t = 2,0 s.
Jawaban dari Pak Dimpun:
v=v_{x}i+v_{y}j \\ v=4ti+(10+0,75t^{2}j)
Untuk t=2s:
v_{2}=4(2)i+(10+0,75(2)^{2})j \\ v_{2}=8i+13j
Untuk t=0s:
v_{1}=4(0)i+(10+0,75(0)^{2})j=10j
Vektor percepatan rata-rata:
a=\frac{\Delta v}{\Delta t} \\ a=\frac{8i+13j-10j}{2-0} \\ a=4i+1,5j
7. Posisi x dari suatu roket percobaan yang sedang bergerak sepanjang suatu rel dinyatakan oleh x (t) = 5t + 8t^{2} + 4t^{3} – 0,25t^{4} selama 10 sekon dari gerakannya, dengan t dalam sekon dan x dalam meter.
Tentukan:
a. persamaan percepatan roket
b. percepatan awal roket
c. percepatan roket pada t = 2 sekon
Jawaban dari Pak Dimpun:
Persamaan kecepatan:
\\ v=\frac{dx}{dt} \\ v= \frac{d(5t+8t^{2} + 4t^{3}-0,25t^{4})}{dt} \\ v=5+16t+12t^{2}-t^{3}
a. persamaan percepatan:
a=\frac{dv}{dt} \\ a= \frac{d(5+16t+12t^{2}-t^{3})}{dt} \\ a=16+24t-3t^{2}
b. percepatan awal, t=0:
a=16+24t-3t^{2} \\ a=16+24(0)-3(0)^{2} \\ a=16ms^{-2}
c. percepatan pada t = 2 sekon:
a=16+24t-3t^{2} \\ a=16+24(2)-3(2)^{2} \\ a=52ms^{-2}
8. Posisi sebuah bola yang dipukul vertikal ke atas dinyatakan oleh Persamaan y = 7t – 5,0t^{2}, dengan y dalam meter dan t dalam sekon.
Tentukan:
i) kelajuan awal bola
ii) kecepatan pada saat t = 1,2 s
iii) ketinggian maksimum yang dicapai bola
9. Kecepatan sebuah partikel yang menempuh gerak lurus berubah beraturan dinyatakan oleh v = v_{o} + at, dengan v_{o} kecepatan awal dan a percepatan tetap. Jika kedudukan awal partikel x_{o} = 0, turunkan persamaan posisi gerak lurus berubah beraturan dengan pengintegralan
10. Jarak yang ditempah sebuah semut diberikan oleh x = 0,1 t^{3}–0,3t^{2}+0,2 t, dengan t dalam sekon dan x dalam cm.
Tentukan:
a) persamaan percepatan semut
b) percepatan awal semutc) percepatan semut pada t = 3 sekon