SOAL DAN PENYELESAIAN VEKTOR POSISI, VEKTOR KECEPATAN, VEKTOR PERCEPATAN LENGKAP

Vektor posisi (r) menyatakan posisi suatu objek yang dinyatakan kedalam suatu vektor. Berikut ini beberapa soal jawab (soal dan pembahasan) materi Kinematika kelas XI (11) SMA, diantaranya kinematika gerak lurus, penggunaan turunan dan integral untuk menentukan posisi, kecepatan dan percepatan.

SOAL DAN PENYELESAIAN VEKTOR POSISI

---

1. Vektor posisi suatu benda diberikan $r = (t^{3}-2t^{2})i + (3t^{2})j$ dimana t dalam sekon dan r dalam meter. Tentukan besar dan arah pepindahan benda dari t = 2 s sampai ke t = 3 s.
Jawaban dari Pak Dimpun:
$$\begin{align*}\Delta r &= r_{2}-r_{1}\\ \Delta r &= \left [(3^{3}-2.3^{2})i + (3.3^{2})j \right ]-\left [(2^{3}-2.2^{2})i + (3.2^{2})j \right ]\\ \Delta r &=9i + 15j\end{align*}$$

Besar Perpindahan:

$$\begin{align*}\left |\Delta r \right |&=\sqrt{9^{2}+15^{2}}\\&=\sqrt{206}\end{align*}$$
Arah Perpindahan:
$$\begin{align*}\tan \theta &=\frac{y}{x}\\&=\frac{15}{9} \\ \theta &=\arctan \frac{15}{9}\end{align*}$$

---

2. Posisi suatu titik materi yang bergerak lurus vertikal dinyatakan dinyatakan dengan persamaan $y = 20t – 5t^{2}$ , dengan y dalam m dan t dalam sekon.
Tentukan :
a) kecepatan awal materi
b) kecepatan titik materi pada t = 1,5
s) tinggi maksimum titik materi jika y menyatakan ketinggian titik materi dari tanah.
Jawaban dari Pak Dimpun:
$$\begin{align*}v&=\frac{dy}{dt} \\ v&=\frac{d(20t-5t^{2})}{dt} \\ v&=20-10t\end{align*}$$
a) Kecepatan awal, t=0:
$$\begin{align*}v&=20-10t \\ v&=20-10(0) \\ v&=20ms^{-1}\end{align*}$$
b) kecepatan titik materi pada t = 1,5 s :
$$\begin{align*}v&=20-10t \\ v&=20-10(1,5)=5ms^{-1}\end{align*}$$
c) tinggi maksimum, saat v=0.
$$\begin{align*}v&=20-10t=0 \\ t&=2s\\\\ y &= 20t-5t^{2} \\ y&=20(2)-5.2^{2}\\&=20m\end{align*}$$

---

3. Misalkan seorang astronaut yang berdiri pada planet Mars melemparkan sebuah bola vertikal ke atas. Bola meninggalkan tangannya pada t = 0, dengan kelajuan awal 20 m/s. Akibat gravitasi, bola diperlambat secara gradual. Secara pendekatan kecepatan bola sebagai fungsi waktu diberikan oleh $v=20-4t$ , dengan t dalam sekon dan v dalam meter per sekon.
a) Kapankah bola mencapai ketinggian maksimumnya dari tanah?
b) Berapa ketinggian maksimum bola tersebut?
Jawaban dari Pak Dimpun:
a) mencapai ketinggian maksimumnya dari tanah saat v=0;
$v = 20-4t=0 \\ t=5s$
b)ketinggian maksimum:
$$\begin{align*}h&=\int vdt \\ h&=\int (20-4t)dt \\ h&=20t-2t^{2} \\ t&=5s$\\\\ h&=20(5)-2(5)^{2}\\h&=50m\end{align*}$$

---

4. Sebuah partikel bergeak pada garis lurus dengan kecepatan pada saat t dinyatakan oleh $v = 3t^{2}-6t-9$, t dalam secon dan v dalam m/s. Tentukan perpindahan dalam jarak yang ditempuh partikel di antara t = 1s dan t = 4s.
Jawaban dari Pak Dimpun:
$$\begin{align*}x&=\int vdt \\ x&=\int (3t^{2}-6t-9)dt \\ x&=t^{3}-3t^{2}-9t\end{align*}$$

---

5. Sebuah pesawat mainan bergerak pada suatu lapangan yang terletak pada bidang XY. Posisi awal pesawat adalah pada koordinat (3,0) m. Komponen-komponen kecepatan pesawat dapat dinyatakan oleh fungsi: $\small  V_{x}= (4,0 ms^{-2})t \textrm{ dan } V_{y}=(10,0 ms^{-1})+(0,75 ms^{-3})t^{2}$
a).Nyatakan persamaan umum posisi pesawat
b).Tentukan posisi pesawat pada t = 2,0 s.
Jawaban dari Pak Dimpun:
$$\begin{align*}x&=\int v_{x}dt+x_{o} \\ x&=\int (4t)dt+3=2t^{2}+3 \\\\ y&=\int v_{y}dt+y_{o} \\ y&=\int (10+0,75t^{2})dt+0 \\ y&=10t+0,25t^{3}\end{align*}$$
a).Persamaan umum posisi pesawat:
$$\begin{align*}r&=xi+yj \\ r&=(2t^{2}+3)i+(10t+0,25t^{3})j\end{align*}$$
b).posisi pesawat pada t = 2,0s;
$$\begin{align*}r&=(2.2^{2}+3)i+(10.2+0,25.2^{3})j \\ r&=11i+22j\end{align*}$$

---

6. Komponen-komponen kecepatan pada saat t telah kita peroleh, yaitu $v_{x}=4,0t$ dan $v_{y} = 10,0 + 0,75t^{2}$, dengan t dalam sekon dan $v_{x}, v_{y}$ dalam meter per sekon. Tentukan vektor percepatan rata-rata antara t = 0 dan t = 2,0 s.
Jawaban dari Pak Dimpun:
$v=v_{x}i+v_{y}j \\ v=4ti+(10+0,75t^{2}j)$
Untuk t=2s:
$v_{2}=4(2)i+(10+0,75(2)^{2})j \\ v_{2}=8i+13j$
Untuk t=0s:
$v_{1}=4(0)i+(10+0,75(0)^{2})j=10j$
Vektor percepatan rata-rata:
$a=\frac{\Delta v}{\Delta t} \\ a=\frac{8i+13j-10j}{2-0} \\ a=4i+1,5j$

---

7. Posisi x dari suatu roket percobaan yang sedang bergerak sepanjang suatu rel dinyatakan oleh $x (t) = 5t + 8t^{2} + 4t^{3} – 0,25t^{4}$ selama 10 sekon dari gerakannya, dengan t dalam sekon dan x dalam meter.
Tentukan:
a. persamaan percepatan roket
b. percepatan awal roket
c. percepatan roket pada t = 2 sekon
Jawaban dari Pak Dimpun:
Persamaan kecepatan:
$\\ v=\frac{dx}{dt} \\ v= \frac{d(5t+8t^{2} + 4t^{3}-0,25t^{4})}{dt} \\ v=5+16t+12t^{2}-t^{3}$
a. persamaan percepatan:
$a=\frac{dv}{dt} \\ a= \frac{d(5+16t+12t^{2}-t^{3})}{dt} \\ a=16+24t-3t^{2}$
b. percepatan awal, t=0:
$a=16+24t-3t^{2} \\ a=16+24(0)-3(0)^{2} \\ a=16ms^{-2}$
c. percepatan pada t = 2 sekon:
$a=16+24t-3t^{2} \\ a=16+24(2)-3(2)^{2} \\ a=52ms^{-2}$

---

8. Posisi sebuah bola yang dipukul vertikal ke atas dinyatakan oleh Persamaan $y = 7t – 5,0t^{2}$, dengan y dalam meter dan t dalam sekon.
Tentukan:
i) kelajuan awal bola
ii) kecepatan pada saat t = 1,2 s
iii) ketinggian maksimum yang dicapai bola

---

9. Kecepatan sebuah partikel yang menempuh gerak lurus berubah beraturan dinyatakan oleh $v = v_{o} + at$, dengan $v_{o}$ kecepatan awal dan a percepatan tetap. Jika kedudukan awal partikel $x_{o} = 0$, turunkan persamaan posisi gerak lurus berubah beraturan dengan pengintegralan

---

10. Jarak yang ditempah sebuah semut diberikan oleh $x = 0,1 t^{3}–0,3t^{2}+0,2 t$, dengan t dalam sekon dan x dalam cm.
Tentukan:
a) persamaan percepatan semut
b) percepatan awal semutc) percepatan semut pada t = 3 sekon