SOAL PENYELESAIAN PERSAMAAN GERAK DENGAN ANALISIS VEKTOR

Soal Dan Penyelesaian Fisika SMA - Vektor merupakan besaran yang mempunyai nilai dan arah. 

Penggambaran vektor dengan garis berbentuk panah yang menunjukan arah vektor dan panjang garisnya disebut sebagai besar vektor.

Soal Persamaan Gerak Dengan Analisis Vektor

---

Soal 1. Sebuah partikel bergerak memenuhi persamaan posisi sebagai berikut $r(t)=(2t^2-6)i+(t^2+2t)j$ meter. Besar kecepatan setelah bergerak selama 2 detik adalah....
A. 10 m.s^-1.
B. 8 m.s^-1
C. 6 m.s^-1
D. 4 m.s^-1
E. 2 m.s^-1
Penyelesaian Fisika:
Vektor kecepatan: $$\begin{aligned}r(t)&=(2t^2-6)i+(t^2+2t)j\\v&=\frac{dr}{dt}\\v&=\frac{d(2t^2-6)i+(t^2+2t)j}{dt}\\v&=4ti+(2t+2)j|_{t=2}\\v&=4(2)i+(2(2)+2)j\\v&=8i+6j\end{aligned}$$ Besar kecepatan: $$\begin{aligned}\left | v \right |&=\sqrt{v_x^2+v_Y^2}\\\left | v \right |&=\sqrt{8^2+6^2}=10ms^{-1}\end{aligned}$$

---

Soal 2. Sebuah partikel bergerak memenuhi persamaan posisi sebagai berikut $r(t)=(2t^2-6)i+(t^2+2t)j$ m. Besar kecepatan rata-rata pada selang waktu 0 sampai 2 detik adalah .... ($m.s^{-1}$)
A. 10
B. $8\sqrt{2}$.
C. 6
D. $4\sqrt{2}$.
E. $2\sqrt{5}$.

Penyelesaian Fisika:

vektor posisi: $$\small \begin{aligned}r(t)&=(2t^2-6)i+(t^2+2t)j\\t=2:r(2)&=(2(2)^2-6)i+(2^2+2(2))j\\r(2)&=2i+8j\\t=0:r(0)&=(2(0)^2-6)i+(0^2+2(0))j\\r(0)&=6i\end{aligned}$$ Vektor kecepatan rata-rata: $$\begin{aligned}\bar{v}&=\frac{\Delta r}{\Delta t}\\\\\bar{v}&=\frac{ r_2-r_o}{t_2-t_o}\\\bar{v}&=\frac{ 2i+8j-6i}{2-0}\\\bar{v}&=-2i+4j\end{aligned}$$ Besar kecepatan rata-rata: $$\begin{aligned}\left |\bar{v} \right |&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\&=\sqrt{(-2)^2+4^2}\\&=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\end{aligned}$$

---

Soal 3. Sebuah partikel bergerak dengan vektor percepatan $a=(2i+j)ms^{-2}$ dengan vektor kecepatan awal $v_o=(-4i+2j)$m.s^-1 . Besar kecepatan pada detik ke 10 adalah....
A. $20\sqrt{1}$.
B. $8\sqrt{5}$.
C. $6\sqrt{2}$.
D. $4\sqrt{5}$.
E. $2\sqrt{2}$.

Penyelesaian Fisika:

Persamaan kecepatan pada detik ke 10 $$\begin{aligned}v_t&=v_o+\int adt\\v_t&=-4i+2j+\int (2i+j)dt\\v_t&=-4i+2j+ (2ti+tj)\\v_t&=(2t-4)i+ (t+2)j\\v_{10}&=(2(10)-4)i+ (10+2)j\\v_{10}&=16i+ 12j\end{aligned}$$ Besar kecepatan pada detik ke 10: $$\begin{aligned}\left |v \right |&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\&=\sqrt{16^2+12^2}=20ms^{-1}\end{aligned}$$

---

Soal 4. Sebuah partikel bergerak dengan vektor posisi $r=(t^2-4t-2)i+(0,5t^2+2t+5)j$. Besar kecepatan rata-rata setelah bergerak selama 2 detik adalah....
A. 10 m.s^-1
B. 12 m.s^-1
C. $\sqrt{13}$m.s^-1
d.$\sqrt{2}$m.s^-1
E.$2\sqrt{5}$m.s^-1

Penyelesaian Fisika:

vektor posisi: $$\small \begin{aligned}r&=(t^2-4t-2)i+(0,5t^2+2t+5)j\\t=2:r(2)&=2^2-4(2)-2)i+((0,5)2^2+2(2)+5)j\\r(2)&=-6i+11j\\t=0:r(0)&=0^2-4(0)-2)i+((0,5)0^2+2(0)+5)j\\r(0)&=-2i+5j\end{aligned}$$ Vektor kecepatan rata-rata: $$\begin{aligned}\bar{v}&=\frac{\Delta r}{\Delta t}\\\bar{v}&=\frac{ r_2-r_o}{t_2-t_o}\\\bar{v}&=\frac{ -6i+11j-(-2i+3j)}{2-0}\\\bar{v}&=2i+4j\end{aligned}$$ Besar kecepatan rata-rata: $$\begin{aligned}\left |\bar{v} \right |&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\&=\sqrt{2^2+4^2}\\&=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\end{aligned}$$

---

Soal 5. Perhatikan persamaan vektor posisi di bawah ini !
$$\begin{align*} r(t)_1&=(2t^2+2t+5)i\\r(t)_2&=(t^3+5)i\end{align*}$$ Pernyataan yang benar adalah...

1. Persamaan 1 adalah gerak lurus
2. Persamaan 2 adalah gerak lurus
3. Percepatan persamaan 1 tetap
4. Persamaan 2 percepatannya tetap

A. (1), (2), dan (3) benar.
B. (1), dan (3) benar.
C. (2), dan (4) benar
D. (4) saja benar
E. Semua benar

Penyelesaian Fisika:

1. Persamaan 1: $r_1=(2t^2+2t+5)i$ adalah gerak lurus berubah beraturan pada sumbu - x,
2. persamaan 2: $r_2=(t^3+5)i$ adalah gerak lurus berubah TIDAK beraturan pada sumbu x.
3. Percepatan persamaan 1: $r_1=(2t^2+2t+5)i$ adalah turunan ke 2 dari persamaan 1 terhadap t, diperoleh |a|=4$ms^{-2}$ tetap.
4. Percepatan persamaan 2: $(t^3+5)i$ adalah turunan ke 2 dari persamaan 2 terhadap t, diperoleh |a|=6ti $ms^{-2}$ berubah.

---

Soal 6.Sebuah partikel bergerak dari keadaan diam pada suatu gerak lurus. Persamaan geraknya dapat dinyatakan sebagai: $x=t^3-2t^2+3$, x dalam meter dan t dalam sekon. Kecepatan partikel pada t = 5 sekon adalah….
A. 25 m.s^-1
B. 30 m.s^-1
C. 45 m.s^-1
D. 55 m.s^-1
E. 60 m.s^-1
Penyelesaian Fisika:

Kecepatan turunan dari vektor posisi: $$\begin{aligned}v &= \frac{dx}{dt} \\&= \frac{d}{t}\left( t^3-2t^2+3 \right)\\&= 3t^2 -4t\\v &= 3\cdot 5^2 -4\cdot 5 \\&= 3\cdot 25 -20 \\&= 75 -20 \\&= 55 \quad \textrm{s}\end{aligned}$$

---

Soal 7.Posisi sebuah benda dinyatakan dengan persamaan: $\vec{r} = \{(15t\sqrt{3}\hat{i}+(15t-5t^2 )\hat{j}\}$ m. Setelah benda bergerak selama 1,5 sekon, kelajuannya menjadi….
A. 0 m.s
B. 15 m.s^-1
C. 11,5$\sqrt{3}$ m.s^-1
D. 22,5 m.s^-1
E. 30 m.s^-1
Penyelesaian Fisika:
Kecepatan turunan dari posisi : $$\begin{aligned} \vec{v} &= \frac{d\vec{r}}{dt} \\&= \frac{d}{dt}(15t\sqrt{3}\hat{i}+(15t-5t^2 )\hat{j}) \\&=( 15\sqrt{3}\hat{i}-10t\hat{j}) \textrm{m/s}\end{aligned}$$ Untuk t = 1,5 s, kecepatannya : $$\begin{aligned}\vec{v} &=15\sqrt{3}\hat{i}-10t\hat{j}\\&=15\sqrt{3}\hat{i}-10\cdot{1,5}\hat{j}\\ &=(15\sqrt{3}\hat{i}-15\hat{j})  \textrm{m/s}\end{aligned}$$ Kelajuan benda : $$\begin{aligned}|\vec{v}| &=\sqrt{v_x^2 +v_y^2}\\&=\sqrt{(15\sqrt{3})^2+(-15)^2}\\&=\sqrt{675+225}\\&=\sqrt{900} \\&= 30  \textrm{m/s}\end{aligned}$$

---

Soal 8.Gerak sebuah benda memiliki persamaan posisi : $\vec{r} = (8t-4)\hat{i}+(-3t^2+6t)\hat{j}$ . Semua besaran menggunakan satuan dasar SI. Dari pernyataan berikut :

1. benda bergerak lurus berubah beraturan
2. koordinat awal (-4 , 0) m
3. setelah 1 s, perpindahannya 5 m
4. setelah 1 s, kecepatannya menjadi 8 m.s^-1

Yang berkaitan dengan gerak pada persamaan di atas adalah….
A. (1), (2), (3), dan (4)
B. (1) dan (3)
C. (1) dan (4)
D. (2), (3), dan (4)
E. (2) dan (4)
Penyelesaian Fisika:

• Berdasarakan persamaan posisi di atas, maka benda bergerak lurus berubah beraturan
• Koordinat awal benda saat t = 0 s, maka :$\small \begin{aligned}\vec{r} &= (8t-4)\hat{i}+(-3t^2+6t)\hat{j}\\&=(8\cdot 0-4)\hat{i}+(-3\cdot 0^2+6\cdot 0)\hat{j}\\&=-4\hat{i}+0\hat{j} \quad \textrm{m}\end{aligned}$
  Jadi koordinat awal (-4, 0 ) m
• Perpindahan benda setelah 1 s,
  $\small \begin{aligned}\vec{r} &= (8t-4)\hat{i}+(-3t^2+6t)\hat{j}\\&=(8\cdot 1-4)\hat{i}+(-3\cdot 1^2+6\cdot 1)\hat{j}\\&=4\hat{i}+6\hat{j} \quad \textrm{m}\end{aligned}$
  Besar perpindahan benda setelah 1 s, $$\begin{aligned}|\vec{r}| &= \sqrt{4^2 +3^2}\\&=\sqrt{16 +9}\\&=\sqrt{25}\\&= 5 \quad \textrm{m}\end{aligned}$$
• Kecepatan adalah turunan dari posisi :
  $\small \begin{aligned}\vec{v} &= \frac{d\vec{r}}{dt}\\&=\frac{d}{dt}\left((8t-4)\hat{i}+(-3t^2+6t)\hat{j}\right)\\&=8\hat{i}+(-6t+6)\hat{j} \quad \textrm{m/s}\end{aligned}$
Kecepatan benda setelah 1 sekon : $$\begin{aligned}\vec{v} &=8\hat{i}+(-6t+6)\hat{j} \\&=8\hat{i}+(-6\cdot 1 +6)\hat{j} \\&=8\hat{i}+0\hat{j} \quad \textrm{m/s}\end{aligned}$$
• Besar kecepatan benda setelah 1 sekon : $$\begin{aligned}|\vec{v}| &= \sqrt{v_x^2 +v_y^2}\\&=\sqrt{8^2 +0^2}\\&=\sqrt{64+0}\\&= 8 \quad \textrm{m/s}\end{aligned}$$

---

Soal 9.Gerak sebuah benda memiliki persamaan posisi : $\vec{r} = (-6-3t)\hat{i} + (8+4t)\hat{j}$. Semua besaran menggunakan satuan dasar SI. Dari persamaan tersebut disimpulkan sebagai berikut:

1. koordinat awal (-6, 8) m
2. kelajuan awal 10 m.s^-1
3. lintasannya lurus
4. perpindahannya 7 m tiap sekon

Kesimpulan yang benar adalah….
A. (1), (2), dan (3)
B. (1), (2), (3), dan (4)
C. (1) dan (3)
D. (2) dan (4)
E. (4) saja
Penyelesaian Fisika:
– Koordinat awal;  t = 0 sekon: $$\begin{aligned}\vec{r} &= (-6-3t)\hat{i} + (8+4t)\hat{j} \\&= (-6-3\cdot 0)\hat{i} + (8+4\cdot 0)\hat{j} \\&= -6\hat{i} + 8\hat{j} \quad \textrm{m}\end{aligned}$$ Koordinat awal benda (-6, 8) m
– Kecepatan adalah turunan dari posisi : $$\begin{aligned}\vec{v} &= \frac{d\vec{r}}{dt} \\&= \frac{d}{dt}\left((-6-3t)\hat{i} + (8+4t)\hat{j}\right) \\&= -3\hat{i}+4\hat{j} m.s^{-1}\end{aligned}$$ Jadi kelajuan awalnya: $$\begin{aligned}|\vec{v}|&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\&=\sqrt{(-3)^2+(4)^2}\\&=\sqrt{9+16}\\&=\sqrt{25}\\&=5\, m.s^{-1}\end{aligned}$$ – Karena kecepatannya konstan, maka benda bergerak lurus
– Perpindahan benda 5 m tiap sekon

---

Soal 10.Sebuah benda bergerak lurus dengan persamaan kecepatan : $\vec{v} = 4\hat{i} + (2t+2\frac{1}{3})\hat{j}$ m.s^-1 . Jika posisi benda mula-mula di pusat koordinat, maka perpindahan benda selama 3 sekon adalah ….
A. 10 m
B. 20 m
C. 30 m
D. 40 m
E. 50 m
Penyelesaian Fisika:
Posisi adalah integral dari kecepatan : $$\small \begin{align*} \vec{r} &=\vec{r}_o + \int_{t=0}^{t=3}\vec{v}dt \\ &=0 + \int_{t=0}^{t=3}\left(4\hat{i} + (2t+2\frac{1}{3})\hat{j}\right)dt \\ &= \left[4t\hat{i}+(t^2+\frac{7}{3}t)\hat{j}\right]_0^3\\ &= 4(3-0)\hat{i} +\left((3^2-0^2)+\frac{7}{3}(3-0)\right)\hat{j} \\ &= 12\hat{i} +16\hat{j} \quad \textrm{m} \end{align*}$$
Sehingga besar perpindahan benda selama 3 sekon yaitu : $$\begin{aligned} |\vec{r}| &=\sqrt{x^2+y^2} \\ &=\sqrt{12^2+16^2} \\ &=\sqrt{400} \\ &= 20 \quad \textrm{m} \end{aligned}$$

---

Soal 11.Perpindahan suatu benda dinyatakan oleh $\vec{r} = 4t^2\hat{i}-(3t^2+4t)\hat{j}$, r dalam meter dan t dalam sekon. Percepatan benda setelah 2 sekon adalah ….
A. 5 m.s^-2
B. 8 m.s^-2
C. 10 m.s^-2
D. 12 m.s^-2
E. 15 m.s^-2
Penyelesaian Fisika:
Pecepatan adalah turunan kedua dari posisi : $$\begin{aligned}\vec{a} &= \frac{d\vec{r}^2}{d^2t} \\&= \frac{d}{dt}\left(\frac{d}{dt}(4t^2\hat{i}-(3t^2+4t)\hat{j})\right) \\&=\frac{d}{dt}\left(8ti-(6t+4)j\right)\\&= 8i-6j\quad m.s^{-2}\end{aligned}$$ Besar percepatan benda setelah 2 sekon : $$\begin{aligned}|\vec{a}| &= \sqrt{a_x^2+a_y^2} \\&=\sqrt{(8)^2+(-6)^2} \\&= \sqrt{100} \\&= 10 \quad m.s^{-2}\end{aligned}$$ Baca juga:
SOAL DAN PENYELESAIAN BESARAN VEKTOR FISIKA KELAS 10