SOAL DAN PENYELESAIAN INTEGRAL FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA

Pada tahun 1748, Leonhard Euler memberikan ide mengenai bilangan e, yaitu: $$\begin{align*} e&=\lim_{n\rightarrow \sim }\left [ 1+\frac{1}{n} \right ]^n\\&=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}\\&=\lim_{n\rightarrow \sim }\left [ 1+n \right ]^\frac{1}{n}\\&=2,718281828459045235\end{align*}$$ Bilangan e banyak digunakan dalam berbagai persamaan dalam matematika, seperti pada logaritma natural yang merupakan logaritma dengan basis e, fungsi kepadatan peluang distribusi normal, bilangan kompleks, dan lain sebagainya.

Selain itu, terdapat beberapa penggunaan bilangan edalam pemodelan masalah-masalah di kehidupan nyata, seperti pada pemodelan bunga majemuk dan kontinu, serta pada pemodelan laju pertumbuhan penduduk.

Suatu logaritma dengan basis e dinamakan logaritma natural dan ditulis dengan ln. sehingga: $$\begin{align*}\ln x=\,^{e}\log x \end{align*}$$ Untuk mendapatkan integral bentuk eksponen dan logaritma, perlu diketahui turunannya terlebih dahulu yaitu: $$\small \begin{align*}\textrm{Jika: }f(x)&=e^x,\textrm{ maka: }f'(x)=e^x\\\textrm{Jika: }f(x)&=\ln x,\textrm{ maka: }f'(x)=\frac{1}{x}\end{align*}$$ Sehingga diperoleh rumus integral sebagai berikut: $$\begin{align*}\int e^x dx&=e^x+c\\\int \frac{1}{x} dx&=\ln x+c\end{align*}$$ Pengembangan dari rumus diatas adalah dengan menggunakan aturan substitusi dan parsial.

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN INTEGRAL FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA

---

01. Tentukanlah hasil dari: $$\begin{align*} \int \frac{6x-12}{x^2-4x+5}\, dx\end{align*}$$ Penyelesaian:

 Misalkan: $$\begin{align*} u&=x^2-4x+5\\&\textrm{ maka: }\\du&=(2x-4)dx\\&\textrm{atau:}\\dx&=\frac{du}{2x-4}\end{align*}$$ Sehingga: $$\small \begin{align*} \int \frac{6x-12}{x^2-4x+5}\, dx&=\int \frac{6x-12}{u}.\, \frac{du}{2x-4}\\&=\int \frac{6x-12}{2x-4}.\, \frac{du}{u}\\&=3\int \frac{du}{u}+c\\&=3\ln u+c\\&=3\ln (x^2-4x+5)+c\end{align*}$$
02. Tentukanlah hasil dari: $$\begin{align*} \int \frac{dx}{x(5+\ln x)}\end{align*}$$ Penyelesaian:

Misalkan: $$\begin{align*} u&=5+\ln x\\&\textrm{ maka: }\\du&=\frac{dx}{x}\\&\textrm{atau:}\\dx&=x\, du\end{align*}$$ Sehingga: $$\begin{align*} \int \frac{dx}{x(5+\ln x)}&=\int \frac{x.du}{x.u}\\&=\int \frac{du}{u}\\&=\ln u+c\\&=\ln (5+\ln x)+c\end{align*}$$
03. Tentukanlah hasil dari: $$\begin{align*} \int \frac{dx}{e^x+1}\end{align*}$$ Penyelesaian:

Misalkan: $$\begin{align*} u&=1+e^{-x}\\&\textrm{ maka: }\\du&=-e^{-x}\, dx\\&\textrm{atau:}\\dx&=-e^x\, du\\\\u&=1+e^{-x}\\u&=\frac{e^x+1}{e^x}\\(e^x&+1)=u.e^x\end{align*}$$ Sehingga: $$\begin{align*} \int \frac{dx}{e^x+1}&=\int \frac{-e^x.du}{e^x.u}\\&=-\int \frac{du}{u}\\&=-\ln u+c\\&=\ln (1+e^{-x})^{-1}+c\\&=\ln\left [ \frac{e^x}{e^x+1} \right ]+c\end{align*}$$ Semoga bermanfaat...