Pada artikel ini kita akan bahas mengenai perkalian dot yang menghasilkan skalar dan perkalian cross yang menghasilkan besaran vektor, beserta Soal dan Penyelesaian perkalian dot dan perkalian cross vektor.
A. Perkalian Dot ( . )
Misalkan vektor $ \vec{A} = (A_i+ A_j+ A_k ) $ dan vektor $ \vec{B} = (B_i+ B_j+B_k ) $ dimana kedua vektor membentuk sudut sebesar $ \theta ,$ maka:
$\vec{A} . \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta $
dengan:
$\small \begin{align*} \left |A \right | &= \sqrt{A_i^2+A_j^2+A_k^2}\\\left |B \right | &= \sqrt{B_i^2+B_j^2+B_k^2}\end{align*}$
Perkalian Dot (perkalian titik) secara Aljabar
$ \vec{A} . \vec{B} = A_i.B_i + A_j.B_j + A_k.B_k $
Dengan demikian dapat kita tuliskan:\begin{align*}i \times j &= +k\textrm{, } j \times i =-k\\k \times i &= +j\textrm{, }i \times k =-j\\j \times k&=+ i \textrm{, }k \times j = -i\\&\textrm{sedangkan:}\\i \times i &= j \times j = k\times k = 0\end{align*}
Perkalian Dot (perkalian titik) secara Aljabar
$ \vec{A} . \vec{B} = A_i.B_i + A_j.B_j + A_k.B_k $
hasil perkalian dot:
$\begin{align*}i . i &= j . j = k . k = 1\\i . j &= j . k = j . k = 0\end{align*}$
B. Perkalian Cross (x)
Dalam perkalian cross digunakan simbol ‘x’. Misalkan vektor $\vec {A} = (A_i+ A_j+A_k)$ dan vektor $ \vec {B} = (B_i+ B_j+ B_k)$.
maka:
$\begin{align*}i . i &= j . j = k . k = 1\\i . j &= j . k = j . k = 0\end{align*}$
B. Perkalian Cross (x)
Dalam perkalian cross digunakan simbol ‘x’. Misalkan vektor $\vec {A} = (A_i+ A_j+A_k)$ dan vektor $ \vec {B} = (B_i+ B_j+ B_k)$.
maka:
$\begin{align*}A \times B = \left | A \right |\left | B \right |\sin\theta \end{align*}$
dengan:
$\small \begin{align*} \left |A \right | &= \sqrt{A_i^2+A_j^2+A_k^2}\\\left |B \right | &= \sqrt{B_i^2+B_j^2+B_k^2}\end{align*}$
Untuk mempermudah teman-teman memahami Operasi Cross ( x ), lihat gambar di bawah, searah tanda panah bernilai positip, berlawanan tanda panah bernilai negatip.
Dengan demikian dapat kita tuliskan:\begin{align*}i \times j &= +k\textrm{, } j \times i =-k\\k \times i &= +j\textrm{, }i \times k =-j\\j \times k&=+ i \textrm{, }k \times j = -i\\&\textrm{sedangkan:}\\i \times i &= j \times j = k\times k = 0\end{align*}
Soal dan Penyelesaian Perkalian Dot dan Cross
Soal: 1. Diketahui vektor $ \vec{A} = (3, -5, 4) $ dan $ \vec{B} = (-2,1,2).$ Tentukan nilai sinus sudut antara vektor $ \vec{A} $ dan $ \vec{B}$!
Soal: 1. Diketahui vektor $ \vec{A} = (3, -5, 4) $ dan $ \vec{B} = (-2,1,2).$ Tentukan nilai sinus sudut antara vektor $ \vec{A} $ dan $ \vec{B}$!
Penyelesaian vektor:
1. nilai sudut :
$\small \begin{align} \cos \theta & = \frac{ \vec{A} . \vec{B} }{|\vec{A}||\vec{B}| } \\ & = \frac{ -6 - 5 + 8 }{\sqrt{3^2 + (-5)^2 + 4^2} . \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2} } \\ & = \frac{ -3 }{\sqrt{50} . \sqrt{9} } = \frac{ -3 }{5\sqrt{2} .3 } \\ & = \frac{ -1 }{5\sqrt{2} } \end{align} $
Dengan rumus identitas trigonometri $\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1$ , maka:
$\begin{align*} \sin ^2 \theta &+ \cos ^2 \theta = 1 \\ \sin ^2 \theta & = 1 - \cos ^2 \theta \\ \sin \theta & = \sqrt{ 1 - \cos ^2 \theta } \\ & = \sqrt{ 1 - ( \frac{ -1 }{5\sqrt{2} } )^2 } \\ & = \sqrt{ 1 - \frac{1 }{50} } \\ & = \sqrt{ \frac{49 }{50} } \\ & = \frac{7}{5\sqrt{2}} =0,7\sqrt{2} \end{align*}$
Soal: 2. Jika vektor $ \vec{A} $ dan $ \vec{B} $ membentuk sudut $ 60^\circ $ , serta vektor $ \vec{A} $ tegak lurus vektor $ \vec{C} $, dengan $ |\vec{A}| = 4 $ , $ |\vec{B}| = 3 $ , dan $ \vec{C}| = 6 $ , maka tentukan :
Karena $ \vec{A} $ tegak lurus $ \vec{C} $ , maka $ \vec{A}.\vec{C} = 0 $.
a. Nilai $ \vec{A} (\vec{B} + \vec{C}) $
$\small \begin{align} \vec{A} (\vec{B} + \vec{C}) & = \vec{A} . \vec{B} + \vec{A}. \vec{C} \\ & = |\vec{A}| |\vec{B} | \cos 60^\circ + 0 \\ & = 4. 3. \frac{1}{2} \\ & = 6 \end{align} $
b. Nilai $ \vec{A}(2\vec{C} - 3\vec{B}) $
$\small \begin{align} \vec{A}(2\vec{C} - 3\vec{B}) & = 2(\vec{A}.\vec{C}) - 3(\vec{A}.\vec{B}) \\ & = 2.0 - 3|\vec{A}| |\vec{B} | \cos 60^\circ \\ & = 0 - 3 . 4. 3. \frac{1}{2} \\ & = - 18 \end{align} $
Soal: 3. Diberikan vektor:
$\small \begin{align*} \vec{A} &= (2i + 3j-4k) \\\vec{B}&= (i-2j + 3k) \\ \vec{C} &= (i-10j-7k)\end{align*}$
maka $\vec{A} \times \vec{B}$ dan $(\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C}$ adalah ...
Penyelesaian vektor:
$\small \begin{align*} \vec{A} \times \vec{B} &= (2i + 3j-4k) \times (i-2j + 3k) \\=&-4k-6j-3k + 9i-4j-8i\\=& i-10j-7k\\ (\vec{A} \times \vec{B}) &\times \vec{C} = (i-10j-7k)\times (i-j+k)\\ =&-k-j + 10k-10i-7j-7i \\=&-17i-8j + 9k \end{align*}$
A, B, C = besar vektor A, B, C
i, j, k = vektor satuan untuk sumbu x, y, z.
1. nilai sudut :
$\small \begin{align} \cos \theta & = \frac{ \vec{A} . \vec{B} }{|\vec{A}||\vec{B}| } \\ & = \frac{ -6 - 5 + 8 }{\sqrt{3^2 + (-5)^2 + 4^2} . \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2} } \\ & = \frac{ -3 }{\sqrt{50} . \sqrt{9} } = \frac{ -3 }{5\sqrt{2} .3 } \\ & = \frac{ -1 }{5\sqrt{2} } \end{align} $
Dengan rumus identitas trigonometri $\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1$ , maka:
$\begin{align*} \sin ^2 \theta &+ \cos ^2 \theta = 1 \\ \sin ^2 \theta & = 1 - \cos ^2 \theta \\ \sin \theta & = \sqrt{ 1 - \cos ^2 \theta } \\ & = \sqrt{ 1 - ( \frac{ -1 }{5\sqrt{2} } )^2 } \\ & = \sqrt{ 1 - \frac{1 }{50} } \\ & = \sqrt{ \frac{49 }{50} } \\ & = \frac{7}{5\sqrt{2}} =0,7\sqrt{2} \end{align*}$
Soal: 2. Jika vektor $ \vec{A} $ dan $ \vec{B} $ membentuk sudut $ 60^\circ $ , serta vektor $ \vec{A} $ tegak lurus vektor $ \vec{C} $, dengan $ |\vec{A}| = 4 $ , $ |\vec{B}| = 3 $ , dan $ \vec{C}| = 6 $ , maka tentukan :
- $ \vec{A} (\vec{B} + \vec{C}) $
- $ \vec{A}(2\vec{C} - 3\vec{B}) $
Karena $ \vec{A} $ tegak lurus $ \vec{C} $ , maka $ \vec{A}.\vec{C} = 0 $.
a. Nilai $ \vec{A} (\vec{B} + \vec{C}) $
$\small \begin{align} \vec{A} (\vec{B} + \vec{C}) & = \vec{A} . \vec{B} + \vec{A}. \vec{C} \\ & = |\vec{A}| |\vec{B} | \cos 60^\circ + 0 \\ & = 4. 3. \frac{1}{2} \\ & = 6 \end{align} $
b. Nilai $ \vec{A}(2\vec{C} - 3\vec{B}) $
$\small \begin{align} \vec{A}(2\vec{C} - 3\vec{B}) & = 2(\vec{A}.\vec{C}) - 3(\vec{A}.\vec{B}) \\ & = 2.0 - 3|\vec{A}| |\vec{B} | \cos 60^\circ \\ & = 0 - 3 . 4. 3. \frac{1}{2} \\ & = - 18 \end{align} $
Soal: 3. Diberikan vektor:
$\small \begin{align*} \vec{A} &= (2i + 3j-4k) \\\vec{B}&= (i-2j + 3k) \\ \vec{C} &= (i-10j-7k)\end{align*}$
maka $\vec{A} \times \vec{B}$ dan $(\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C}$ adalah ...
Penyelesaian vektor:
$\small \begin{align*} \vec{A} \times \vec{B} &= (2i + 3j-4k) \times (i-2j + 3k) \\=&-4k-6j-3k + 9i-4j-8i\\=& i-10j-7k\\ (\vec{A} \times \vec{B}) &\times \vec{C} = (i-10j-7k)\times (i-j+k)\\ =&-k-j + 10k-10i-7j-7i \\=&-17i-8j + 9k \end{align*}$
A, B, C = besar vektor A, B, C
i, j, k = vektor satuan untuk sumbu x, y, z.
