- Gerakannya periodik (bolak-balik).
- Gerakannya selalu melewati posisi keseimbangan.
- Percepatan atau gaya yang bekerja pada benda sebanding dengan posisi/simpangan benda.
- Arah percepatan atau gaya yang bekerja pada benda selalu mengarah ke posisi keseimbangan.
Persamaan Getaran Harmonik
A. Simpangan Getaran Harmonik
Simpangan getaran harmonik sederhana dapat dianggap sebagai proyeksi partikel yang bergerak melingkar beraturan pada diameter lingkaran.\[\small \\y=A\sin \theta \\\\\Rightarrow \theta =\omega t\\\\y=A\sin \omega t\\\\\Rightarrow \omega =2\pi f=\frac{2\pi }{T}\\\\y=A\sin 2\pi f\\\\y=A\sin \frac{2\pi }{T}\]B. Kecepatan Getaran Harmonik Kecepatan benda yang bergerak harmonik sederhana dapat diperoleh dari turunan pertama persamaan simpangan.\[\small \\\displaystyle \\v=\frac{dy}{dt}\\v=\frac{d}{dt}(A\sin \omega t)\\\\v=A\omega \cos \omega t\\\\v=v_{max} \cos \omega t\\\\v=\omega \sqrt{A^{2}-y^{2}}\]
Mengingat nilai maksimum dari fungsi cosinus adalah satu yaitu pada 0o, maka kecepatan maksimum gerak harmonik sederhana adalah:
\[\small v_{max}=A\omega \\v_{max}=2\pi fA\\v_{max}=2\pi \frac{A}{T}\] kecepatan maksimum ketika simpangan nol (y=0)
C. Percepatan Getaran Harmonik
Percepatan benda yang bergerak harmonik sederhana dapat diperoleh dari turunan pertama persamaan kecepatan atau turunan kedua persamaan simpangan.\[\small \\a=\frac{dv}{dt}\\a=\frac{d}{dt}(A\omega \cos \omega t)\\\\a=-A\omega ^{2} \sin \omega t\\\\a=-a_{max} \sin \omega t\\\\a=-\omega ^{2}y\] Karena nilai maksimum dari simpangan adalah sama dengan amplitudonya (y = A), maka percepatan maksimumnya gerak harmonik sederhana adalah:
\[\small a_{max}=\omega ^{2}A\]
D. Energi Getaran Harmonik
Benda yang bergerak harmonik memiliki energi potensial dan energi kinetik. Jumlah kedua energi ini disebut energi mekanik.a. Energi Kinetik Gerak Harmonik
\[\small \\E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}\\\\E_{k}=\frac{1}{2}mA^{2}\omega ^{2}\cos ^{2}\omega t\\\\E_{k}=\frac{1}{2}m\omega ^{2}(A^{2}-y^{2})\] Dengan mengingat bahwa:\[\small k=m\omega ^{2}\] Energi kinetik juga dapat ditulis dalam bentuk seperti berikut.
\[\small \\E_{k}=\frac{1}{2}kA ^{2}\cos ^{2}\omega t\\\\E_{k}=\frac{1}{2}k(A^{2}-y^{2})\]
b.Energi Potensial Gerak Harmonik
Besar gaya yang bekerja pada getaran harmonik selalu berubah yaitu berbanding lurus dengan simpangannya (F = ky). Secara matematis energi potensial yang dimiliki gerak harmonik dirumuskan sebagai berikut.
\[\small \\E_{p}=\frac{1}{2}ky^{2}\\\\E_{k}=\frac{1}{2}kA^{2}\sin ^{2}\omega t\\\\E_{k}=\frac{1}{2}mA^{2}\omega ^{2}\sin ^{2}\omega t\] c. Energi Mekanik Gerak Harmonik
Energi mekanik sebuah benda yang bergerak harmonik adalah jumlah energi kinetik dan energi potensialnya.
\[\small \\E_{m}=\frac{1}{2}kA^{2}\]
Berdasarkan persamaan diatas, ternyata energi mekanik suatu benda yang bergetar harmonik tidak tergantung waktu dan tempat. Jadi, energi mekanik sebuah benda yang bergetar harmonik dimanapun besarnya sama.
\[\small \\E_{k_{max}}=E_{p_{max}}=E_{m}\\\\=\frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}mA^{2}\omega ^{2}\] Kedudukan gerak harmonik sederhana pada saat Ep dan Ek bernilai maksimum dan minimum
d. Kecepatan Benda yang Bergetar Harmonik
Untuk menghitung kecepatan maksimum benda atau pegas yang bergetar harmonik dapat dilakukan dengan menyamakan persamaan kinetik dan energi total mekaniknya dimana Ek = Em.
\[\small v_{maks}=A\sqrt{\frac{k}{m}}\] Sedangkan untuk menghitung kecepatan benda di titik sembarang dilakukan dengan menggunakan persamaan kekekalan energi mekanik
Gaya yang dilakukan pegas untuk mengembalikan benda pada posisi keseimbangan disebut gaya pemulih. Besarnya gaya pemulih menurut Robert Hooke dirumuskan sebagai berikut.
\[F_{p} = -k.x\] Tanda minus menunjukkan bahwa gaya pemulih selalu pada arah yang berlawanan dengan simpangannya. Jika kita gabungkan persamaan di atas dengan hukum II Newton, maka diperoleh persamaan percepatan getar sebagai berikut.
\[ a=\frac{-kx}{m}\] Terlihat bahwa percepatan berbanding lurus dan arahnya berlawanan dengan simpangan. Hal ini merupakan karakteristik umum getaran harmonik
Periode dan Frekuensi Getaran Harmonik
a. Periode dan Frekuensi Sistem Pegas
Gerak harmonik merupakan gerak melingkar beraturan pada salah satu sumbu utama, sehingga periode dan frekuensi pada pegas dapat dihitung dengan gaya pemulih F = -kx dan gaya sentripetal $\small -4\pi ^{2}mf^{2}x$ .\[ \displaystyle \small \\-4\pi ^{2}mf^{2}x = -kx\\\\-4\pi ^{2}mf^{2} = -k\\\\f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\\\\atau\\\\T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\] Periode dan frekuensi sistem beban pegas hanya bergantung pada massa dan konstanta gaya pegas
b. Periode dan Frekuensi Bandul Sederhana
Persamaan gaya pemulih pada bandul sederhana adalah F = -mg sinθ . Untuk sudut θ kecil (θ dalam satuan radian), maka sin θ = θ . Oleh karena itu persamaannya dapat ditulis F = -mg (x/l). Karena persamaan gaya sentripetal adalah $\small -4\pi ^{2}mf^{2}x$, maka peroleh persamaan sebagai berikut.\[\small \\f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{l}}\\\\atau\\\\T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\] Periode dan frekuensi bandul sederhana tidak bergantung pada massa dan simpangan bandul, tetapi hanya bergantung pada panjang tali dan percepatan gravitasi setempat.
baca juga:
Soal Getaran Dan Gelombang
