Notasi sigma dilambangkan dengan " $\Sigma $ " adalah sebuah huruf Yunani yang artinya penjumlahan.
Notasi ini digunakan untuk mempersingkat penulisan penjumlahan bentuk panjang dari jumlah suku-suku yang merupakan variabel berindeks atau suku-suku suatu deret.
Penjumlahan pada notasi sigma dilakukan dgn meningkatkan indeksnya satu dari batas bawah sampai batas atasnya.
Definisi Notasi Sigma
Jika diketahui suatu barisan tak hingga $a_1, a_2, a_3, . . .,a_n, $ maka jumlah dari $n$ suku pertama barisan tersebut dinyatakan dengan $\small \Sigma _{k=1}^n , a_k $. artinya bentuk $\displaystyle \Sigma _{k=1}^n , a_k = a_1 + a_2 + a_3 + ...+a_n $
Catatan :
Notasi Sigma memiliki simbol $\displaystyle \Sigma _{k}^{n} f $ dimana $k$ adalah Batas Bawah dan $n$ adalah Batas Atas, serta ada fungsi yang akan dihitung nilainya.
Jika diketahui suatu barisan tak hingga $a_1, a_2, a_3, . . .,a_n, $ maka jumlah dari $n$ suku pertama barisan tersebut dinyatakan dengan $\small \Sigma _{k=1}^n , a_k $. artinya bentuk $\displaystyle \Sigma _{k=1}^n , a_k = a_1 + a_2 + a_3 + ...+a_n $
Catatan :
- Indeks $ k , $ bertambah satu terus dari batas bawah $(k=1)$ sampai batas atas $(k=n)$.
- Indeks $ k , $ bisa diganti dengan huruf lain, misalkan $ i , , j, , $ dan lainnya.
- $ a_k , $ adalah suatu fungsi dengan variabel $ k $ .
Nyatakan setiap Notasi sigma berikut dalam bentuk deret dan hitunglah hasilnya:
1. $\small \Sigma _{k=1}^{5} , k =$
Penyelesaian :
$\small \begin{align*}\Sigma _{k=1}^{5} , k & = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \\ & = 15 \end{align*} $
Sehingga deretnya : $\small \Sigma _{k=1}^{5} , k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 $
Jadi, nilai $ \small \Sigma _{k=1}^{5} , k = 15 $.
Penyelesaian :
$\small \begin{align*}\Sigma _{k=1}^{5} , k & = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \\ & = 15 \end{align*} $
Sehingga deretnya : $\small \Sigma _{k=1}^{5} , k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 $
Jadi, nilai $ \small \Sigma _{k=1}^{5} , k = 15 $.
2. $\small \Sigma _{k=1}^{5} , 3k= $
Penyelesaian :
$\small {\begin{align*}\Sigma _{k=1}^{5} , 3k & = 3.1 + 3.2 + 3.3 + 3.4 + 3.5 \\ & = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 \\& = 45 \end{align*}} $
Sehingga deretnya : $\small \Sigma _{k=1}^{5} , 3k = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 $
Jadi, nilai $ \small \Sigma _{k=1}^{5} , 3k = 45 $.
Penyelesaian :
$\small {\begin{align*}\Sigma _{k=1}^{5} , 3k & = 3.1 + 3.2 + 3.3 + 3.4 + 3.5 \\ & = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 \\& = 45 \end{align*}} $
Sehingga deretnya : $\small \Sigma _{k=1}^{5} , 3k = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 $
Jadi, nilai $ \small \Sigma _{k=1}^{5} , 3k = 45 $.
3. $\small \Sigma _{i=1}^{3} , (i^2 + 5)= $
Penyelesaian :
$\small { \begin{align*}\Sigma _{i=1}^{3} , (i^2 + 5) & = (1^2 + 5) + (2^2 + 5) + (3^2 + 5)\\ & = (1 + 5) + (4 + 5) + (9 + 5) \\ & = (6) + (9) + (14) \\ & = 29 \end{align*} }$
Sehingga deretnya : $\small \Sigma _{i=1}^{3} , (i^2 + 5) = (6) + (9) + (14) $
Jadi, nilai $ \small \Sigma _{i=1}^{3} , (i^2 + 5) = 29 $.
Penyelesaian :
$\small { \begin{align*}\Sigma _{i=1}^{3} , (i^2 + 5) & = (1^2 + 5) + (2^2 + 5) + (3^2 + 5)\\ & = (1 + 5) + (4 + 5) + (9 + 5) \\ & = (6) + (9) + (14) \\ & = 29 \end{align*} }$
Sehingga deretnya : $\small \Sigma _{i=1}^{3} , (i^2 + 5) = (6) + (9) + (14) $
Jadi, nilai $ \small \Sigma _{i=1}^{3} , (i^2 + 5) = 29 $.
Beberapa Rumus Umum Notasi Sigma
Jumlah deret aritmatika, deret kuadrat dan kubik dalam notasi sigma :
Tentukan hasil dari bentuk notasi sigma berikut ini :
Jumlah deret aritmatika, deret kuadrat dan kubik dalam notasi sigma :
- $ \small \Sigma _{k=1}^{n} , k = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{1}{2}n(n+1) $
- $ \small \Sigma _{k=1}^{n} , k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) $
- $ \small \Sigma _{k=1}^{n} , k^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left( \dfrac{1}{2}n(n+1) \right)^2 $
Tentukan hasil dari bentuk notasi sigma berikut ini :
1. $ \small \Sigma _{k=1}^{2017} , k $
Penyelesaian :
Kita langsung gunakan rumus umum di atas : $ \small \Sigma _{k=1}^{2017} , k , $ , artinya $ n = 2017 $.
$\begin{align*}\small \Sigma _{k=1}^{2017} , k & = 1 + 2 + 3 + ... + 2017 \\ & = \frac{1}{2}n(n+1) \\ & = \frac{1}{2} \times 2017 \times (2017+1) \\ & = \frac{1}{2} \times 2017 \times (2018) \\ & = 2017 \times (1009) \\ & = 2.035.153 \end{align*} $
Jadi, nilai $\small \Sigma _{k=1}^{2017} , k = 2.035.153 $
$\begin{align*}\small \Sigma _{k=1}^{2017} , k & = 1 + 2 + 3 + ... + 2017 \\ & = \frac{1}{2}n(n+1) \\ & = \frac{1}{2} \times 2017 \times (2017+1) \\ & = \frac{1}{2} \times 2017 \times (2018) \\ & = 2017 \times (1009) \\ & = 2.035.153 \end{align*} $
Jadi, nilai $\small \Sigma _{k=1}^{2017} , k = 2.035.153 $
2. $ \small \Sigma _{i=1}^{2016} , i^2 $
Penyelesaian :
$ \small \Sigma _{i=1}^{2016} , i^2 , $ , artinya $ \small n = 2016 $.
$\small \begin{align*}\Sigma _{i=1}^{2016} , i^2 & = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 2016^2 \\ & = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\ & = \frac{1}{6} \times 2016 \times (2016+1) \times (2 \times 2016+1) \\ & = \frac{1}{6} \times 2016 \times (2017) \times (4033) \\& = 336 \times (2017) \times (4033) \\& = 2.733.212.496 \end{align*} $
Jadi, nilai $\small \Sigma _{i=1}^{2016} , i^2 = 2.733.212.496 $
3. $ \small \Sigma _{i=1}^{1991} , j^3 $
Penyelesaian :
$ \small \Sigma _{i=1}^{1991} , j^3 , $ , artinya $ n = 1991 $.
$\small \begin{align*}\Sigma _{i=1}^{1991} , j^3 & = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 1991^3 \\ & = \left( \frac{1}{2}n(n+1) \right)^2 \\& = \left( \frac{1}{2} \times 1991 \times (1991+1) \right)^2 \\ & = \left( \frac{1}{2} \times 1991 \times (1992) \right)^2 \\& = \left( 1991 \times 996 \right)^2 \\& = \left( 1.983.036 \right)^2 \\& = 3.932.431.777.296 \end{align*} $
Jadi, nilai $ \small \Sigma _{i=1}^{1991} , j^3 = 3.932.431.777.296 $
$\small \begin{align*}\Sigma _{i=1}^{2016} , i^2 & = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 2016^2 \\ & = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\ & = \frac{1}{6} \times 2016 \times (2016+1) \times (2 \times 2016+1) \\ & = \frac{1}{6} \times 2016 \times (2017) \times (4033) \\& = 336 \times (2017) \times (4033) \\& = 2.733.212.496 \end{align*} $
Jadi, nilai $\small \Sigma _{i=1}^{2016} , i^2 = 2.733.212.496 $
3. $ \small \Sigma _{i=1}^{1991} , j^3 $
Penyelesaian :
$ \small \Sigma _{i=1}^{1991} , j^3 , $ , artinya $ n = 1991 $.
$\small \begin{align*}\Sigma _{i=1}^{1991} , j^3 & = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 1991^3 \\ & = \left( \frac{1}{2}n(n+1) \right)^2 \\& = \left( \frac{1}{2} \times 1991 \times (1991+1) \right)^2 \\ & = \left( \frac{1}{2} \times 1991 \times (1992) \right)^2 \\& = \left( 1991 \times 996 \right)^2 \\& = \left( 1.983.036 \right)^2 \\& = 3.932.431.777.296 \end{align*} $
Jadi, nilai $ \small \Sigma _{i=1}^{1991} , j^3 = 3.932.431.777.296 $
Sifat-sifat Notasi Sigma
Berikut adalah sifat-sifat notasi sigma yang akan bisa membantu kita untuk mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan notasi sigma.
- $ \small \Sigma _{k=1}^{n} , c = n . c , $ , dengan $ c , $ adalah konstanta. Bentuk lebih umumnya : $ \small \Sigma _{k=m}^{n} , c = (n-m+1) . c $
- $ \small \Sigma _{k=m}^{n} , c a_k = c \times\small \Sigma _{k=m}^{n} , a_k $.
- $ \small \Sigma _{k=m}^{n} , (a_k + b_k) =\small \Sigma _{k=m}^{n} , a_k +\displaystyle \Sigma _{k=m}^{n} , b_k $
- $ \small \Sigma _{k=m}^{n} , (a_k - b_k) =\small \Sigma _{k=m}^{n} , a_k -\displaystyle \Sigma _{k=m}^{n} , b_k $
- $ \small \Sigma _{k=n}^{n} , a_k = 0 $.
- $ \small \Sigma _{k=m}^{n} , a_k =\small \Sigma _{k=m}^{p-1} , a_k +\small \Sigma _{k=p}^{n} , a_k $
- $ \small \Sigma _{k=m}^{n} , a_k =\small \Sigma _{k=m+p}^{n+p} , a_{k-p} =\small \Sigma _{k=m-p}^{n-p} , a_{k+p} $ dengan nilai $ m < p < n $
