Secara matematika hukum Gauss dapat ditulis sebagai berikut.\[\small \phi =\oint \vec{E}.\vec{dA}=\frac{\sum_{i}q_{i}}{\varepsilon _{o}}\\\oint \vec{E}.\vec{dA}=\frac{q_{in}}{\varepsilon _{o}}\]Dimana $\small \oint$ adalah integral permukaan tertutup.Penggunaan Hukum Gauss
Bila kita hendak menggunakan Hukum Gauss untuk menentukan kuat medan listrik disekitar suatu distribusi muatan kita harus memperhatikan hal-hal sebagai berikut:
- Simetri apa yang dipunyai sistem ini, dari sini diperoleh gambaran kualitatif tentang medan tersebut.
- Pilih suatu permukaan (khayal) yang kita sebut permukaan Gauss yang sesuai dengan bentuk simetri diatas, melalui titik yang akan ditentukan kuat medannya itu.
- Pemilihan permukaan Gauss yang tepat akan menghasilkan E yang sama besar dan tegak lurus pada sebagian atau seluruh permukaan tertutup tersebut dan nol di permukaan lain.
Medan listrik di dalam bola 0 < r < R
Untuk menghitung medan listrik di dalam bola berongga buatlah permukaan gauss permukaan bola K seperti pada gambar, kemudian gunakan hukum Gauss di bawah ini\[\small \phi =\oint \vec{E}.\vec{dA}=\frac{\sum_{i}q_{i}}{\varepsilon _{o}}\\\oint \vec{E}.\vec{dA}=\frac{q_{in}}{\varepsilon _{o}}\\\]dimana hasil $\small \oint dA=4\pi R^{2}$ sama dengan luas permukaan bola K yang dibuat di dalam bola berongga. Nilai Q di dalam permukaan gauus yang dibuat adalah 0 karena tidak ada muatan yang terlingkupi di dalam permukaan gauss K.\[\small 4\pi r_{k}^{2}=\frac{0}{\varepsilon _{o}}=0\]Maka besar medan listrik di dalam bola sama dengan nolMedan listrik di permukaan bola r = R
Untuk menghitung besar medan listrik di permukaan bola, kita harus membuat permukaan bola gauss yang berhimpit dengan permukaan bola yaitu permukaan L, kemudian gunakan persamaan matematis hukum Gauss untuk menghitung besar medan listrik di permukaan bola.\[\small \oint \vec{E}.\vec{dA}=\frac{q_{in}}{\varepsilon _{o}}\\4\pi r_{L}^{2}E=\frac{q_{in}}{\varepsilon _{o}}\]Besar muatan yang dilingkupi oleh permukaan gauus yang berhimpit dengan permukaan bola berongga adalah Q\[\small 4\pi r_{L}^{2}E=\frac{q_{in}}{\varepsilon _{o}}\\E=\frac{q_{in}}{4\varepsilon _{o}\pi R^{2}}\Rightarrow k=\frac{1}{4\pi\varepsilon _{o}}\\\\E=k\frac{q_{in}}{R^{2}}\]Medan listrik di permukaan bola adalah \[\small E=k\frac{q_{in}}{R^{2}}\]Dengan adalah konstanta Coulomb bernilai $\small k=9.10^{9}Nm^{2}C^{-2}$Medan listrik di luar permukaan bola r > R
Untuk menghitung besar medan listrik di luar permukaan bola kita harus membuat permukaan gauss di luar permukaan bola berongga di gambar permukaan itu disebut permukaan M. Gunakan persamaan matematik hukum Gauss untuk menghitung besar medan listrik di luar permukaan bola berongga\[\small \\\oint \vec{E}.\vec{dA}=\frac{q_{in}}{\varepsilon _{o}}\\4\pi r_{M}^{2}E=\frac{q_{in}}{\varepsilon _{o}}\]Besar muatan yang dilingkupi oleh permukaan tertutup gauss M adalah Q\[\small \\\oint \vec{E}.\vec{dA}=\frac{q_{in}}{\varepsilon _{o}}\\4\pi r_{M}^{2}E=\frac{q_{in}}{\varepsilon _{o}}\]
1. Medan listrik homogen sebesar 200 N/C ditembakkan tegak lurus ke sebuah bidang persegi dengan panjang sisi 20 cm, jumlah garis medan listrik yang menembus bidang persegi tersebut adalah....?
Jawaban Fisika Pak Dimpun :
\[\\ \Phi = E. A\cos \theta \\ \Phi = 200. 4 \times 10^{-2} \cos 0^{o} \\ \Phi = 8 \: \, Weber\]
2.Kuat medan listrik sebesar 200 N/C mengarah pada bidang lingkaran berjari-jari 7 cm dengan membentuk sudut 300 terhadap bidang. Tentukan berapa fluks listrik tersebut?
Jawaban Fisika Pak Dimpun :
\[\\\Phi = E. A.\cos \theta \\\Phi = E. \pi r^{2}\cos \theta \Rightarrow \theta =90-30=60^{o}\\\Phi = 200\times (3,24)(7.10^{-2}) . 0,5 \\ \Phi = 1,54 weber\]
3. Sebuah muatan titik sebesar 1,8 µC terletak di tengah-tengah sebuah kubus berjari-jari 55 cm. Hitung fluks listrik yang menembus permukaan kubus tersebut.
Jawaban Fisika Pak Dimpun :
\[\small \\\varepsilon _{o}\oint \vec{E}.\vec{dA}=q \\\varepsilon _{o}(\Phi )=q \\\Phi=\frac{q}{\varepsilon _{o}}=\frac{1,8\times 10^{-6}}{8,85\times 10^{-12}} \\\Phi=2,034\times 20^5\: Weber\]
