Penalaran Matematika - Seleksi Akademik Masuk SMA Unggul~Soal Penyelesaian Fisika dan Matematika

Penalaran Matematika - Berikut adalah soal matematika Seleksi Akademik Masuk SMA Unggul, sebagai bahan latihan persiapan ujian masuk Masuk SMA Unggul atau SMA Plus untuk tahun berikutnya.

SOAL DAN PENYELESAIAN UJIAN MASUK SMA Plus

1. Nilai dari

$\small \left (1-\frac{1}{2} \right )\left (1-\frac{1}{3} \right )\left (1-\frac{1}{4} \right ) \cdots \left (1-\frac{1}{2016} \right )$ adalah...
A.

$\frac{1}{2011}$
B.

$\frac{1}{2013}$
C.

$\frac{1}{2015}$
D.

$\frac{1}{2016}$
Penyelesaian: D

Nilai dari:

$\small \begin{align*}&\left (1-\frac{1}{2} \right )\left (1-\frac{1}{3} \right )\left (1-\frac{1}{4} \right )... \left (1-\frac{1}{2016} \right )\\&1-\frac{1}{2}=\frac{2}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \\&1-\frac{1}{3}=\frac{3}{3}-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} \\& 1-\frac{1}{4}=\frac{4}{4}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} \\&\textrm{maka:}\\&1-\frac{1}{2015}=\frac{2015}{2015}-\frac{1}{2015}=\frac{2014}{2015} \\&1-\frac{1}{2016}=\frac{2016}{2016}-\frac{1}{2016}=\frac{2015}{2016} \\&\textrm{sehingga;}\\&\left (1-\frac{1}{2} \right )\left (1-\frac{1}{3} \right )\left (1-\frac{1}{4} \right )... \left (1-\frac{1}{2016} \right )\\&=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} ... \frac{3}{4}\ \cdots \frac{2014}{2015} \cdot \frac{2015}{2016}\\&=\frac{1}{ 2} \cdot \frac{ 2}{ 3} \cdot \frac{ 3}{ 4}\frac{ 2014}{2015} ... \frac{ 2015}{2016}=\frac{1}{2016} \end{align*}$

2. Untuk setiap bilangan bulat positip

$x,y$ didefenisikan

$\small x \Delta y=\frac{xy}{y-x}$ . Nilai

$x$ yang memenuhi persamaan

$\small (x \Delta 6)=4(x \Delta 3)$ adalah...
A. 9
B. 5
C. 4
D. 2
Penyelesaian: A
Dari persamaan

$\small x \Delta y=\frac{xy}{y-x}$ , maka ;

$\small \begin{align*} (x \Delta 6) & = 4(x \Delta 3) \\\frac{x \cdot 6}{6-x} & = 4 \left(\frac{x \cdot 3}{3-x} \right) \\\frac{6x}{6-x} & = 4 \left( \frac{3x}{3-x} \right) \\\frac{6x}{6-x} & = \frac{12x}{3-x}|_\text{dibagi 6x} \\\frac{1}{6-x} & = \frac{2}{3-x} \\3-x & = 2(6-x) \\3-x & = 12-2x \\-x+2x & = 12-3 \\x & = 9\end{align*}$

3. Suatu survei dilakukan pada siswa kelas X MIA SMA Unggul untuk mengetahui yang berminat mengikuti kegiatan Teater. Hasil survei ialah sebagai berikut: 25% dari total siswa putra dan 50% dari total siswa putri ternyata berminat mengikuti kegiatan tersebut; 90% dari total peminat kegiatan Teater ialah siswa putri. Rasio total siswa putri dan total siswa putra kelas X di sekolah tersebut adalah...
A. 9:1
B. 9:2
C. 9:3
D. 9:4

Penyelesaian: B
Misalkan jumlah total Putra = X dan Putri = Y. Yang berminat mengikuti teater ialah:

25% dari total siswa putra = 0,25X
50% dari total siswa putri = 0,5Y
Total yang mengikuti teater ialah 0,25X+0,5Y.
90% dari total peminat kegiatan Teater ialah siswa putri, maka: $\small 0,9(0,25X+0,5Y)=0,5Y$ sehingga:
$\small \begin{align*}&0,9 \left( 0,25 X+0,5 Y \right) = 0,5 Y \\&0,25 X+0,5 Y = \frac{0,5 Y}{0,9} \\&0,25 X+0,5 Y = \frac{5}{9} Y \\&0,25 X = \frac{5}{9} Y - 0,5 Y \\&0,25 X = \frac{10}{18} Y - \frac{9}{18} Y \\&0,25 X = \frac{1}{18} Y \\&\frac{X}{4} = \frac{Y}{18} \\&\frac{Y}{X} = \frac{18}{4}=\frac{9}{2} \\&\end{align*}$

4. Perhatikan pola berikut:

SOAL DAN PENYELESAIAN UJIAN MASUK SMA UNGGUL DEL

Banyak lingkaran pada pola ke-50 adalah...
A. 1275
B. 1326
C. 1452
D. 1546
Penyelesaian: B
Berdasarkan gambar, banyak lingkaran untuk tiap pola adalah:

pola-1; 1+2=3; setara S₂ deret aritmatika dengan a=1; b=1; n=2
pola-2; 1+2+3=6; setara S₃ deret aritmatika dengan a=1; b=1; n=3
pola-4; 15=1+2+3+4+5; setara S₅ deret aritmatika dengan a=1; b=1; n=5
Dengan melihat aturan pola tersebut mengikuti aturan deret aritmatika maka banyak lingkaran pola ke-50 sama dengan S₅₁ pada deret aritmatika dengan a=1; b=1; n=51;

maka:

$\small \begin{align*}S_{n} &= \frac{n}{2} \left( 2a +(n-1)b \right) \\S_{51} &= \frac{51}{2} \left( 2(1) +(51-1)1 \right) \\&= \frac{51}{2} \left( 2 +(50) \right) \\&= \frac{51}{2} (52) \\&= 1326\end{align*}$

5. Banyak angka

$\small 17^{2}$ muncul pada akar persamaan :

$\small \sqrt{17^{2}+17^{2}+ \cdots+17^{2}}=17^{2}+17^{2}+17^{2}$ bernilai benar adalah...
A. 17
B. 289
C. 2601
D. 4913
Penyelesaian: C

$\small \sqrt{17^{2}+17^{2}+ \cdots +17^{2}}=17^{2}+17^{2}+17^{2}$ bernilai benar;

$\small \sqrt{17^{2}+17^{2}+ \cdots +17^{2}}=3 \times 17^{2}$

$\small \begin{align*}17^2+17^2+ \cdots +17^2&=\left( 3 \times 17^2 \right)^2\\ 17^2+17^2+ \cdots +17^2&= 9 \times 17^2 \times 17^2\\ 17^2+17^2+ \cdots +17^2&= 9 \times 17^2 \times 17^2\end{align*}$
maka:

$\small \begin{align*}\sqrt{17^{2}+17^{2}+ \cdots +17^{2}}&=17^{2}+17^{2}+17^{2}\\\sqrt9 \times 17^2 \times 17^2&=17^2+17^2+17^2\end{align*}$

$\small 17^{2}$ yang ada dalam akar ialah

$\small 9 \times 17^{2}=2601$

6. Jika

$x=2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{x}}}}$ maka nilai

$x$ adalah...
A. 3

B. 4

C. 5

D. 6
Penyelesaian: A
Bentuk soal:

$\small \begin{align*}x=2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{x}}}}\\\textrm{setara dengan:}\\x=2+\frac{3}{x}\\ \textrm{kita ubah mejadi:}\\x^{2} = 2x+3 &\\x^{2} -2x -3 = 0 &\\(x+1)(x-3) = 0& \\x = -1\ \text{(tdk memenuhi)} \\x = 3&\end{align*}$

7. Banyaknya bilangan real yang memenuhi

$x^{2017}+x^{2016}-x^{2015}=x^{2014}$ adalah...

A. 0
B. 1

C. 2

D. 3
Penyelesaian: B

$\small \begin{align*} &x^{2017}+x^{2016}-x^{2015} =x^{2014} \\&x^{2017}+x^{2016}-x^{2015}-x^{2014} =0 \\&\left(x^{2017} -x^{2015} \right )+\left(x^{2016} -x^{2014} \right ) =0 \\&x^{2015} \left(x^{2}-1 \right )+x^{2014} \left(x^{2} -1 \right ) =0 \\&\left( x^{2015}+x^{2014} \right ) \left(x^{2} -1 \right ) =0 \\&x^{2014} \left( x +1 \right ) \left(x^{2} -1 \right ) =0 \\&x^{2014} (x+1)(x+1)(x-1) =0 \\&x=-1;\ x=0;\ x =1\end{align*}$

8. A mampu merampungkan sendiri sebuah pekerjaan dalam waktu 2 jam, sedangkan B mampu merampungkan pekerjaan yang sama dalam waktu 6 jam. Jika mereka berdua bekerja bersama-sama, maka lama pekerjaan itu mampu selesai ialah ... jam
A. 1

$\frac{3}{2}$

C. 3

D. 4

$\frac{1}{2}$
Penyelesaian: B
Misalkan:

waktu A = $\small t_A$ dan waktu B = $\small t_B$
waktu A dan B bersama-sama:
$\small \begin{align*}\frac{1}{t} & =\frac{1}{t_A}+\frac{1}{t_B}\\\frac{1}{t} &=\frac{1}{2}+\frac{1}{6} \\\frac{1}{t} & =\frac{3}{6}+\frac{1}{6} \\\frac{1}{t} & =\frac{4}{6} \\t&=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}s\end{align*}$

9. Diketahui sistem persamaan:

$\small \begin{align*}&3a+7b+c = 315 \\&4a+10b+c = 420\end{align*}$

Maka nilai a+b+c adalah...
A. 100

B. 105

C. 110

D. 150
Penyelesaian: D
Persamaan II dikurang Persamaan I:

$\small \begin{align*}4a+10b+c &= 420...(\textrm{II}) \\3a+7b+c &= 315 ...(\textrm{I})(-)\\\hline a + 3b &= 105\end{align*}$

Dari persamaan (II) ;

$\small \begin{align*} 4a+10b+c = 420 \\3a+a+9b+b+c & =420 \\3(a+3b)+a+b+c & =420 \\3(105)+a+b+c & =420 \\a+b+c & =420-315 \\a+b+c & =105\end{align*}$

10. Diketahui f fungsi real yang memenuhi